技機三甲 陳 建 源
一、前言
數學，我們從小就學過，加減乘除大家都會，但是要將這些數字做有規律的排列，這可是有些難度的唷！
本書面報告對於魔術方陣〝Magic SQUARE〞的排列與解法做一個簡單的說明 ，然後將其應用於進階的〝Magic Star〞，其困難度不下於魔術方陣喔！有興趣的人不妨試試！
二、相關學理
傳說在我國古代夏禹治水時，曾經看過洛水之中有一隻大烏龜，這隻烏龜的背上有幾個奇妙的花紋，引起了眾人的注目。仔細看這大龜身上的花紋，可以發現這花紋是由45個圓點所組成的，形成如下圖的排列，後人便稱之為洛書。
這個方陣具有一個奇特的性質，那就是每一行，每一列以及對角線上的數字和都是15祖先們認為〝洛書〞是一個吉祥的象徵，所以有許多人都將它畫在紙上攜帶，認為有保平安的效果。
在別的東方地區也有幻方的記載，但多數也蒙上神秘的色彩。較早期的一個 ，是刻在印度一所廟宇石上，年代大約是十一世紀，是四階幻方。古代印度人十分崇拜這種幻方，至今從古神殿的遺址，墓碑上常常還可以發現四階幻方的遺跡 。至今還有許多印度人把﹝洛書﹞的圖案佩在胸前當作〝護身符〞。
據中國古代數學的書─﹝數術記遺﹞中記錄了一個三行三列的縱橫圖。當時稱為﹝九官﹞。如下圖所示：
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
由於洛書共有九個數字，所以漢代的徐岳把它稱為〝九宮算〞或〝九宮圖〞，九宮算在在漢代之後又有很大的擴展，成為縱橫均為n行的縱橫圖。而公元十世紀宋朝時，有人將﹝九宮﹞和﹝易繫辭﹞中的﹝洛出書﹞附會起來，合稱為﹝洛書﹞。
在公元十五世紀時，住在君士坦丁堡的魔索普拉把我國的縱橫圖介紹給歐洲人，並取名為〝MAGIC SQUARE〞，因為縱橫圖具有如此變幻莫測的特別性質，所以在歐洲也掀起了一段占星的風潮，中古世紀的歐洲人也認為幻方具有符的法力，能夠鎮壓妖魔，許多歐洲寺院中的神殿都使用它。而許多占星術也將其作為護身符。
早期的幻方都是由中國發現傳播，歐洲最早的方陣是公元1514年德國畫家Albrecht Dure在他著名的銅板畫Melencolia上的4×4幻方，有趣的是，他連創造年代﹝1514﹞也鑲在這個方陣中，而且上下左右，四個小方陣的和皆為34，是歐洲最古老的幻方。
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
把數字1, 2, …, n2，填入n2個小正方形組成的正方形方陣裡，使得縱、橫、對角線的和都相同。這樣一個神奇的方陣就稱為“魔方陣”。
例子：下圖是一個4階魔方陣：
| 16 | 2 | 3 | 13 |
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 4 | 14 | 15 | 1 |
n = 1：很顯然1自己就是1個1階魔方陣。
n = 2：1， 2， 3， 4的組合方式可以分成以下三種（將同構的所有排法視為同一種）
而這三種排法都無法使每行、每列、每條對角線的總和相同，因此2階魔方陣不存在。
n = 3呢？ 如何把1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (= 32)放進9個小正方形組成的正方形方陣裡，使得縱、橫、對角線的和都相同呢？
我們先隨意試試下面這種排法：
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
這種亂槍打鳥的方法來找魔方陣是不實際的，讓我們仔細觀察這種方陣的特性，再想辦法將數字填入適當的方格中。首先，既然每一列、每一行、每一條對角線的和都一樣，那麼這個和到底是多少呢？
假設這個數是M，則第一列的數字和是M，第二列及第三列的數字和也是它。因此當你把所有數字加起來，會得到3M。於是
3M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =
= 
= 45
M = 15
每行、每列的和應為15。接著，你是否注意到正中央的數字非常關鍵？它與其他8個數字都有關係。
| - | - | - |
| - | - | |
| - | - | - |
我們再試試4。如果4放中央的話，1就會沒地方擺，因為4 + 1 = 5，所以第3個數字只能是10，但是10又不在1到9的範圍內。同樣地，將1, 2或3放中央也會發生類似的情形，它們都太小了。
既然6, 7, 8, 9與4, 3, 2, 1都不能放中央，那麼剩下的唯一可能就是5了。
| - | - | - |
| - | 5 | - |
| - | - | - |
| 9 | - | - |
| - | 5 | - |
| - | - | # |
| 9 | ╳ | ╳ |
| ╳ | 5 | - |
| ╳ | - | 1 |
接下來我們試試將9放在5左邊的空格裡，則5右邊的空格一定是1。
| A | - | - |
| 9 | 5 | 1 |
| B | - | - |
我們先選A為4好了，得到下面的圖：
| 4 | - | - |
| 9 | 5 | 1 |
| 2 | - | - |
| 4 | - | 8 |
| 9 | 5 | 1 |
| 2 | - | 6 |
| 4 | 3 | 8 |
| 9 | 5 | 1 |
| 2 | 7 | 6 |
我們可以利用阿拉伯數字來表示夏禹所發現的洛書，結果就可以看到如右圖的方陣。好奇的祖先們發現，這龜的圖形所代表的數字，不管是沿著橫行將數字一個一個加起來，或是沿著縱列，甚至於沿對角線計算數字和，都能夠得到數字和15這個奇妙的數字。
橫行各數字和： 4+3+8=15 ； 9+5+1=15 ； 2+7+6=15
縱列各數字和： 4+9+2=15 ； 3+5+7=15 ； 8+1+6=15
對角線數字和： 4+5+6=15 ； 2+5+8=15
| 4 | 3 | 8 |
| 9 | 5 | 1 |
| 2 | 7 | 6 |
四階幻方的建構方法:
接下來我們來探討一下四階方陣的建構方法。首先我們觀察一下變數以及已之條件的變化情形。四階幻方的已之條件有10條〈各行各列各對角線之和等於魔數〉，但是四階幻方的變數卻有16個之多。我們利用分析的方式來一步一步的建構四階魔術方陣。
首先我們先將魔術方陣填成如下圖的模樣：
|
可以看出兩對角線已經是相等而且等於魔數，所以將對角線上的數字固定。 由直列和的關係可以將方陣加以調整。 |
||||||||||||||||
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<=各直列之數字和 |
|
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由橫行和的關係可以將方陣加以調整。 使每橫行的和都為魔數(34) |
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|
魔術方陣的魔數
魔術方陣中各行各列各對角線的數字和相等，而這個相等的數字和便稱為魔數，有了魔數，對於建構魔術方陣十分的有幫助。
魔術方陣的魔數可以用下面這個簡單的方式推導出來：
一個n階幻方中因為每行的數字和相等，所以可以得到:
數字和=各行數字和(魔數)*行數
因此我們可以利用這個公式來計算魔術方陣的魔術:
| 三階幻方的魔數為15 |
| 四階幻方的魔數為34 |
| 五階幻方的魔數為65 |
三、實體製做：
一、將珍珠板裁成長、寬皆為200mm，板厚度為3.5mm，需要四塊板子。
二、繪製六角星圖，如下：
三、將其貼在珍珠板上，並將12個圓用圓規刀割開，共需製作3張一模一樣的板子。
四、將三塊割好小圓的板子黏在一起，再將完整的板子黏在下面，稱完成的板子為 〝基座〞。
五、將兩個直徑ψ24mm、厚10mm的小圓相黏，使其高度變為20mm，共12個。
六、將12個小圓柱從1標注到12。
七、將磁性板裁成適當的大小，黏在小圓柱的另一邊及基座上的小園孔內。
八、將其陰乾，再將基板用膠帶黏貼做保護。
九、將12個小園柱放入基座裡，完成成品。
四、問題討論：
在這六角星盤中，需將1到12這些數字，使得方形每一邊數字的和為26，四個頂點數字的和也是26。
五、參考資料與網站：
一、http://home.pchome.com.tw/cool/coollee/magic.htm
二、http://home.educities.edu.tw/listeve/Htm/magicsquare/magicsquare-1.htm
三、http://uuu.to/IQmore 老貓數益世界
四、http://www.bamboo.hc.edu.tw/research_publish/textbook/math01/chapter10/index.html 數學嘉年華
